Gauss: primjeri rješenja i posebnim slučajevima

Gauss metoda, koja se naziva način postupno eliminacije nepoznatih varijabli, nazvan po istaknuti njemački naučnik KF Gauss, dok je još živ dobio nezvaničnu titulu "Kralj matematike." Međutim, ova metoda je poznata dugo prije rođenja evropske civilizacije, čak u I stoljeću. BC. e. Drevne kineske naučnici su ga koristili u svojim spisima.

Gauss je klasičan način rješavanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi (Slough). Idealan je za brzo rješenje za matrice ograničene veličine.

Sama metoda se sastoji od dva poteza: naprijed i nazad. Direktan naravno zove slijed prikazan SLAE trokutastog oblika, odnosno nultu vrijednost ispod glavne dijagonale. Opoziv uključuje konzistentan nalaz varijabli, izražavajući svaku varijablu kroz prethodne.

Naučite da primjenjuju u praksi, Gauss je dovoljno samo znati osnovna pravila množenja, zbrajanje i oduzimanje brojeva.

Da bi pokazao algoritam za rješavanje linearnih sistema ovom metodom, mi objasni jedan primjer.

Dakle, može riješiti pomoću Gauss:

x + 2y + 4Z = 3
2x + 6y + 11Z = 6
4x-2y-2z = -6

Treba nam drugo i treće linije riješi varijable x. Da bi se to dodamo da ga prvi pomnožen -2 i -4, respektivno. dobijamo:

x + 2y + 4Z = 3
2y + 3z = 0
-10y-18Z = -18

Sada je 2. red pomnožiti 5 i dodajte ga u treći:

x + 2y + 4Z = 3
2y + 3z = 0
-3z = -18

Doveli smo naš sistem u trouglasti oblik. Sada smo izvršiti unazad. Počnemo sa zadnja linija:
-3z = -18,
z = 6.

Druga linija:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

U prvom redu:
x + 2y + 4Z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
x = -3

Zamjenom vrijednosti varijabli u izvornim podacima, što smo potvrdili ispravnost odluke.

Ovaj primjer se može riješiti puno bilo koje druge zamene, ali odgovor je trebao biti isti.

Tako se događa da su vodeći elementi prvog reda su raspoređeni uz premala vrijednosti. To nije strašno, već otežava proračuna. Rješenje je da se Gauss sa okretanjem na kolonu. Njegova suština je kako slijedi: prva linija maksimalno tražiti modulo element, kolona u kojoj se nalazi, promena mesta sa 1. kolona, to je naš maksimum element postaje prvi element glavnoj dijagonali. Sljedeći je standardni proces proračuna. Ako je potrebno, postupak izmjene kolone u nekim mjestima se može ponoviti.

Još jedna verzija metoda je metoda Gauss Gauss-Jordan.

Koristi se za rješavanje linearnih sistema trgu, kada je inverzna matrica matrice i čin (broj različit od nule linija).

Suština ove metode je da je originalni sistem je transformiran od strane promjene u matrici identitet s još nalaz varijabli.

Algoritam je u tome što:

1. sistem jednačina je, kako u načinu Gauss, trouglasti oblik.

2. Svaka linija je podijeljena na određeni broj na takav način da je uređaj uključen na glavnoj dijagonali.

3. zadnja linija je pomnožen određenim brojem i oduzeti od pretposljednji tako da se ne na glavnoj dijagonali 0.

4. Korak 3 se ponavlja u nizu za sve redove dok se na kraju ne čine matricu jedinice.