Geometrijskom progresijom i njegova svojstva

Geometrijskom progresijom je važna u matematici kao nauke, a primjenjuje značaj, s obzirom da ima izuzetno široko polje, čak iu više matematike, na primjer, u teoriji serije. Prve informacije o napretku došao da nas od drevnog Egipta, posebno u obliku dobro poznat problem Rhind papirusu sedam osoba sa sedam mačaka. Varijacije ovog zadatka su ponovljeni mnogo puta u različitim vremenima od drugih naroda. Čak je i Velikiy Leonardo Pizansky, poznatiji kao Fibonacci (XIII v.), Govorio je da je u svojoj "Knjizi Abacus."

Tako da se geometrijskom progresijom ima davna prošlost. To predstavlja numerički niz sa nule prvi član, a svaki naredni, počevši od drugog utvrđuje se množenjem prethodnog ponavljanja formula na konstantnoj, nule broj koji se zove nazivnik progresiji (obično određen pomoću slovo q).
Očigledno, to se može naći dijeljenjem svake naredne trajanja sekvence na prethodni, i.e. z 2: z 1 = ... = zn: z n-1 = .... Prema tome, za većinu posla progresiju (Zn) dovoljno da zna vrijednost prvog mandata nazivnika i y 1 q.

Na primjer, z 1 = 7, q = - 4 (q <0), a zatim sljedeće geometrijskom progresijom dobija 7 - 28, 112-448, .... Kao što možete vidjeti, rezultirajuća sekvenca nije monotono.

Podsjetimo se da je proizvoljan slijed monotono (povećanje / smanjenje) kada je jedan od njegovih članova pratiti više / manje od prethodne. Na primjer, slijed 2, 5, 9, ..., i -10, -100, -1000, ... - Monotone, drugi - opadajući geometrijskom progresijom.

U slučaju kada q = 1, svi članovi se utvrdi da, i to se zove konstanta napredovanje.

Slijed je napredak ovog tipa, mora zadovoljiti sljedeće potreban i dovoljan uslov, a to su: počevši od drugog, svaki od njegovih članova treba da bude geometrijska sredina susjednih članova.

Ova nekretnina dopušta pod određenim dva susjedna nalaz proizvoljne termin napredovanje.

n-tog termina eksponencijalno lako naći po formuli: zn = z 1 * q ^ (n-1), z znajući prvi član 1 i nazivnik q.

S obzirom da je redni broj ima suma, a zatim nekoliko jednostavnih kalkulacija nam formulu za izračunavanje suma prvih progresije članova, i to:

S n = - (Zn * q - z 1) / (1 - q).

Vraćanje, u formuli svom izrazu vrijednosti zn z 1 * q ^ (n-1) da se dobije drugi zbir formulu progresije: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Zaslužuje pažnju sljedeće zanimljiva činjenica: glina tableta pronađena u iskopinama starog Babilona, koji se odnosi na VI. BC, sadrži izvanredan način sumu od 1 + 2 + ... + 22 + 29 jednako 2 do desetog minus napajanja 1. objašnjenje ovog fenomena još uvijek nije pronađen.

Napominjemo jedan od svojstava geometrijskom progresijom - konstantan rad svojih članova, raspoređen u jednakim udaljenostima od kraja sekvence.

Od posebnog značaja sa naučne tačke gledišta, tako nešto kao beskonačno geometrijskom progresijom i izračunavanje iznosa. Pod pretpostavkom da je (yn) - što je geometrijskom progresijom ima nazivnik q, zadovoljavaju uslov | q | <1, njegova iznos će biti upućen do krajnjih granica prema kojoj već znamo zbira njenih prvih članova, s neograničenim povećanjem n, onda su na to približava beskonačnosti.

Nađi ovaj iznos kao rezultat po formuli:

S n = y 1 / (1- q).

I, kao što je pokazalo iskustvo, za prividnu jednostavnost ove progresije je sakriven ogroman potencijal primjene. Na primjer, ako se izgradi niz kvadrata u skladu sa sljedećim algoritam, povezivanje središta prethodnog, onda formiraju kvadrat beskonačno geometrijskom progresijom imaju nazivnik 1/2. Ista progresija oblik i površina trokuta, dobiti u svakoj fazi izgradnje, a suma je jednaka području originalnih trga.