Poliedra: elementi simetrije i područje

Geometrija je lijep, jer, za razliku od algebre, što nije uvijek jasno zašto i šta ti misliš, daje vizualni objekt. Predivan svijet različitih tijela krase poliedra.

Opće informacije o poliedra

Prema mišljenju mnogih, redovne poliedri, ili kako ih zovu platonski čvrste, imaju jedinstvene osobine. Sa ovim objektima povezan nekoliko naučnih hipoteza. Kada počnete da proučava geometrijske podatke tijela, shvatite da se skoro ništa ne znam o takvim koncept kao poliedra. Na prezentaciji ovih objekata u školi nije uvijek zanimljivi, toliko ni ne sjećam što su se zvali. U spomen na većinu ljudi to je samo kocka. Nijedan od geometrije tijela ne posjeduje, kao što savršenstvo kao redovni poliedri. Sva imena tih geometrijskih tijela potiče iz antičke Grčke. Oni predstavljaju broj lica: tetraedrona - četverostrane, heksahedron - Allen, oktaedar - Octagon, dodekaedar - dodecahedral, ikosaedar - icosahedral. Svi ovi geometrijskih tijela zauzima značajno mjesto u Platonovu koncepciju svemira. Četiri od njih su sadržane elemenata ili entiteta: tetraedar - vatre, ikosaedar - Vodena kocka - zemlja, oktaedar - zrak. Dodecahedron sadržane sve stvari. On je smatran glavnim, kao simbol univerzuma.

Generalizacija koncepta poliedra

Polyhedron je konačan kolekcija poligona tako da:

• svaki od strane bilo koje od poligona je u isto vrijeme samo jedna strana drugog poligona na istoj strani;
• iz svake od poligona možete prošetati do druge prolaskom susjedna nju poligona.

Poligoni čine poliedar predstavljaju svoje lice i njihovoj strani - rebra. poliedri čvorovi su temena poligona. Ako pojam poligon shvatiti stan zatvorena polilinija, onda dolaze u jednu definiciju poliedra. U slučaju da ovaj termin znači dio aviona koji je omeđena isprekidanim linijama, to će biti shvaćen površine koja se sastoji od poligonalnog komada. Konveksni poliedar se zove tijelo leži na jednoj strani aviona, pored svojih lica.

Još jedna definicija poliedra i njegovih elemenata

Polyhedron zove površine koja se sastoji od poligona, što ograničava geometrijskih tijela. To su:

• non-konveksan;
• konveksnim (dobra i zla).

Redovito poliedar - je konveksan poliedar sa maksimalnom simetrije. Elementi poliedra:

• Tetrahedron: 6 rebra 4 lica 5 čvorova;
• heksahedron (kocka) 12, 6, 8;
• dodekahedrona 30, 12, 20;
• oktaedar 12, 8, 6;
• ikosaedar 30, 20, 12.

Eulerov teorem

Uspostavlja odnos između broja rubova, tjemena i lica su topološki ekvivalentan sferi. Dodavanje broj čvorova i lica (B + D) imaju različite poliedra i upoređujući ih sa brojem rebara, moguće je postaviti jedno pravilo: zbir broja lica jednak broj čvorova i ivica (P) povećan je za 2. To je moguće izvesti jednostavnu formulu:

• B + D = P + 2.

Ova formula važi za sve konveksne poliedra.

osnovne definicije

Koncept redovne poliedra je nemoguće opisati u jednoj rečenici. To je više vrednovani i zvuka. Tijelo će biti priznata kao takva, potrebno je da ispunjava veliki broj definicija. Dakle, geometrijski tijelo će biti redovni poliedar kada su ispunjeni ovi uvjeti:

• to je konveksan;
• isti broj rebara konvergira na svaki od njegovih vrhova;
• sve aspekte njegove - redovno poligona, jednako jedni druge;
• Svi Dihedral uglovi su jednaki.

Osobine poliedra

Postoji 5 različitih vrsta poliedra:

1. Cube (heksahedron) - ima ravno Apex ugao je 90 °. Ona ima 3-sided ugla. Nominalni iznos uglovi na vrhuncu od 270 °.
2. Tetraedar - stan Apex kut - 60 °. Ona ima 3-sided ugla. Nominalni iznos uglovi na vrhuncu - 180 °.
3. Oktaedar - stan Apex kut - 60 °. Ona ima četiri-sided ugla. Nominalni iznos uglovi na vrhuncu - 240 °.
4. Dodecahedron - stan Apex uglom od 108 °. Ona ima 3-sided ugla. Nominalni iznos uglovi na vrhuncu - 324 °.
5. Ikosaedar - ima ravno Apex kut - 60 °. Ima pet-sided ugla. Nominalni iznos uglovi na vrhuncu 300 °.

Području poliedra

Površine geometrijskih tijela (S) izračunava se kao običan poligon površine pomnožen sa brojem aspekata (G):

• S = (a: 2) x 2G CTG π / p.

Obim redovnog poliedra

Ova vrijednost se izračunava množenjem obim redovnog piramide čija je osnova redovnog poligon, broj lica, a njegova visina je upisano radijus sfere (r):

• V = 1: 3R.

Količine poliedra

Kao i svaka druga geometrijska čvrste, poliedra imaju različite volumene. Ispod su formule pomoću kojih se mogu izračunati:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• oktaedar: α x 3√2: 3;
• ikosaedar; α x 3;
• heksahedron (kocka): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodekahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elementi poliedra

Heksahedron i oktaedar su dual geometrijskih tijela. Drugim riječima, oni mogu izaći iz drugog u slučaju da je težište jednog se uzima kao iznad drugog, i obrnuto. Također su dual ikosaedar i dodekahedron. Sam samo tetraedar je dual. Prema načinu Euclid mogu se dobiti iz dodekaedrom heksahedron izgradnjom "krovova" na licima kocke. Temena tetraedra su bilo koja 4 temena kocke, a ne susjednih parova uz rub. Od heksahedron (kocka) može se dobiti i druge poliedra. Uprkos činjenici da poligona postoji bezbroj, poliedra, postoje samo 5.

Radijusa redovnih poligona

Sa svakom od ovih geometrijskih tijela su povezani koncentričnih sfera 3:

• opisao prolazi kroz temena;
• upisan u vezi sa svakom od svojih lica u sredini;
• medijana se odnose na sve rubove u sredini.

Radijus sfere opisuje sljedeća formula izračunava:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Radijus upisanog sfere se izračunava na sljedeći način:

• R = a: 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

gdje θ - Dihedral kut koji je između susjednih aspekte.

Medijana radijus sfere može se izračunati pomoću sljedeće formule:

• ρ = a cos π / p: 2 sin π / h,

gdje h = magnitude 4.6, 6.10, ili 10. Odnos radijusa upisanog opisani i simetrično u odnosu na p i q. Ona se izračunava na sljedeći način:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

Simetriju poliedri

Simetriju poliedra je primarni interes ovih geometrijskih tijela. Podrazumijeva se kao pokret tijela u prostoru, što ostavlja isti broj čvorova, lica i rubova. Drugim riječima, pod uticajem simetrije transformacije ivica, tjeme, ili lice zadržava prvobitni položaj, ili se preseli u početni položaj drugog rebra, ostala temena ili lica.

Elementi simetrije poliedra su zajednički za sve vrste geometrijskih čvrste materije. Ovdje se sprovodi na transformaciju identiteta, što ostavlja bilo koji od tačaka u početni položaj. Dakle, kada okrenete poligonalni prizmu mogu dobiti neke simetrije. Bilo koji od njih može se predstaviti kao proizvod refleksije. Simetrija, koja je proizvod paran broj refleksija, pod nazivom direktno. Ako je proizvod neparan broj refleksija, onda se to naziva povratne informacije. Dakle, sve okreće oko linije predstavljaju pravo simetrije. Bilo koji odraz poliedar - inverzna simetrije.

Da bi bolje razumjeli simetriju elemente poliedra, možete uzeti primjer tetraedar. Svaka linija koja će proći kroz jedan od vrhova i centar geometrijskih oblika, održat će se i kroz centar ivici suprotno tome. Svaki od skretanja 120 i 240 ° oko linije pripada u množini tetraedralna simetrije. S obzirom na to 4 tjemena i lica, dobijamo ukupno osam direktnih simetrije. Bilo koja od linija prolazi kroz sredinu ivica i centar tijela, prolazi kroz sredinu suprotnog ruba. Bilo koji rotacije od 180 °, nazvao pola preokret ravan simetrije. S obzirom da je tetraedar ima tri para rebara, možete dobiti tri linije simetrije. Na osnovu navedenog, može se zaključiti da je ukupan broj direktnih simetrije, uključujući i transformacija identiteta, bit će do dvanaest. Ostali direktni simetrije tetraedra ne postoji, ali ima 12 inverzna simetrije. Shodno tome, samo 24 karakterizira tetraedar simetrije. Radi jasnoće, možemo izgraditi model tetraedra od kartona i proverite da li je geometrijsko tijelo zapravo ima samo 24 simetrije.

Dodecahedron i ikosaedar - najbliži području tela. Ikosaedar ima najveći broj lica, Dihedral kuta i najviše od svega može čvrsto drže upisanog sferi. Dodecahedron ima najniži ugaoni defekt najveći solidan ugao na tjeme. To može maksimalno da popuni ograničena sferi.

skeniranje poliedri

Poliedra skeniranja, koje smo svi zajedno zaglavljeni u djetinjstvu, imaju puno koncepata. Ako postoji skup poligona, svaka strana koja se identifikuje sa samo jedne strane poliedra, identifikacija stranaka mora biti u skladu sa dva uslova:

• svakog poligona, možete ići na poligon imaju identifikaciju strane;
• prepoznatljive strane trebaju imati istu dužinu.

To je skup poligona koji ispunjavaju ove uslove, a zove se poliedar skeniranje. Svaki od ovih tijela ima nekoliko od njih. Na primjer, kocka kojih ima 11 komada.