Sistemi brojeva. Primer neoznačenih brojeva sistema

Sistemi broja - šta je to? Čak i bez poznavanja odgovora na ovo pitanje, svako od nas će se u našem životu koristiti u brojnim sistemima i ne sumnja u to. Tako je, na množini! To nije jedno, već nekoliko. Pre nego što damo primere ne-pozicionih sistemskih brojeva, da pogledamo ovo pitanje, hajde da razgovaramo o pozicionim sistemima.

Potreban je račun

Od davnih vremena, ljudi su imali potrebu za računom, odnosno intuitivno shvatili da je na neki način potrebno izraziti kvantitativnu viziju stvari i događaja. Mozak je predložio da morate koristiti stavke za račun. Najprikladniji su uvek bili prsti na rukama, i to je razumljivo, jer su uvijek dostupni (sa retkim izuzecima).

Dakle, bilo je potrebno da drevni predstavnici ljudske rase savijaju prste u bukvalnom smislu - na primer, da označe broj poginulih mamuta. Imena takvih elemenata računa još nisu postojala, već samo vizuelna slika, poređenje.

Moderni sistemi pozicioniranja

Sistem broja je metoda (metoda) za prikaz kvantitativnih vrednosti i količina pomoću određenih znakova (simboli ili slova).

Neophodno je razumeti šta je pozicijsko i ne-poziciono na računu, pre nego što damo primere ne-pozicijskih brojeva. Pozicijski brojevi su mnogi. Sada koriste sljedeće u različitim oblastima znanja: binarni (uključuje samo dva značajna elementa: 0 i 1), šestocifreni (broj znakova - 6), oktalni (znakovi 8), duodecimalni (dvanaest znakova), heksadecimalni (uključuje šesnaest karaktera). Svaka serija znakova u sistemima počinje od nule. Savremena kompjuterska tehnologija zasniva se na upotrebi binarnih kodova - binarnog sistema brojeva pozicije.

Decimalni sistem broja

Pozitivnost je prisustvo u različitim stepenima značajnih pozicija na kojima se nalaze znaci broja. Ovo se najbolje može pokazati primjerom decimalnog broja. Na kraju krajeva, koristili smo ga od detinjstva. Znaci u ovom sistemu su deset: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Uzmite broj 327. Postoje tri znaka: 3, 2, 7. Svaki od njih se nalazi na svom položaju Mesto). Sedam zauzima poziciju rezervisanu za jedinične vrijednosti (jedinice), dvije desetine i trostruko - stotine. Pošto je broj tri vrednosti, dakle, u njemu postoje samo tri pozicije.

Na osnovu gore navedenog, takav trocifreni decimalni broj se može opisati na sledeći način: tri stotine, dva desetina i sedam jedinica. A važnost pozicije se računa s leva na desno, od slabe pozicije (jedinice) do jače (stotine).

Veoma smo ugodni u sistemu za decimalni položaj. Imamo i deset prsta na našim rukama. Pet plus pet - tako, zahvaljujući prstima, mi smo iz detinjstva lako zamišljali desetak. Zbog toga je deci lako učiti tablicu razmnožavanja za pet i deset. I tako je lako naučiti da prebrojavaju novčanice, koje se često umnožavaju (to jest, oni se dele bez ostatka) za pet i deset godina.

Ostali sistemi pozicioniranja

Na iznenadjenje mnogih, treba reći da se ne samo u decimalnom sistemu računa naš mozak navikava da izvodi određene proračune. Do sada je čovečanstvo koristilo sisteme brojeva od šest i dvanaest cifara. To jest, u takvom sistemu ima samo šest karaktera (u heksadecimalnom): 0, 1, 2, 3, 4, 5. U dvanaestom redosledu ima dvanaest: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , A, B, gde A - označava broj 10, B - broj 11 (pošto znak mora biti jedan).

Sudite sami. Mislimo da je vreme šest, zar ne? Jedan sat je šezdeset minuta (šest desetina), jedan dan je dvadeset četiri sata (dva puta dvanaest), godinu je dvanaest meseci i tako dalje ... Svi vremenski intervali lako se uklapaju u šest i dvanaest redova. Ali smo navikli na to da čak ne razmišljamo o broju vremena.

Sistemi bez pozicije. Unary

Neophodno je odrediti šta je to - sistem bez pozicije. To je takav sistem znakova, u kojem ne postoje pozicije za znakove broja, ili princip "čitanja" broja od pozicije ne zavisi. Takođe ima svoja pravila za pisanje ili izračunavanje.

Nudimo primere ne-pozicionih brojeva. Vratimo se u antičku. Ljudima je bio potreban račun i došao do najjednostavnijeg pronalaska - nodula. Sistem koji nije pozicioniran je nodalni sistem. Jedna stavka (vreća pirinča, bik, plast sena itd.) Je brojana, na primjer, prilikom kupovine ili prodaje i vezivanja čvora na nizu.

Kao rezultat toga, na konopcu ispalo je toliko čvorova, koliko je torbi pirinča kupilo (kao primer). Ali i to bi moglo biti žlebove na drvenom štapiću, na kamenoj ploči itd. Ovakav sistem numeracije postao je poznat kao sistem čvorova. Ima drugo ime - unary ili singl ("uno" znači "jedan" na latinici).

Očigledno je da ovaj sistem broja nije pozicije. Na kraju krajeva, koje pozicije mogu postojati kada je (pozicija) samo jedna! Čudno je, u nekim delovima Zemlje u toku procesa još uvek postoji ujednačen sistem bez pozicije.

Takođe, sistemima koji nisu pozicionirani su:

• Roman (za pisanje brojeva koje se koriste slovima - latinski simboli);
• Drevni egipatski (slično rimskom, takođe korišćeni simboli);
• Abecedno (upotrebljava se slova abeceda);
• Vavilonska (klisura - koristila je ravnu i obrnutu "klin");
• Grčki (takođe poznat kao alfabetski).

Rimski numerički sistem

Drevno Rimsko carstvo, kao i njena nauka, bilo je veoma progresivno. Rimljani su svetu dali mnoge korisne izume o nauci i umetnosti, uključujući njihov sistem računa. Prije dvije stotine godina, rimski brojevi su korišćeni da se odnose na količine u poslovnim dokumentima (na taj način izbegavaju falsifikovanje).

Rimska numeracija je primer ne-pozicionog broja sistema, to nam je sada poznato. Takođe se aktivno koristi i rimski sistem, ali ne i za matematičke proračune, ali za usko usmerene akcije. Na primjer, uz pomoć rimskih brojeva obično je odrediti istorijske datume, godine, zapise, dijelove i poglavlja u izdanjima knjiga. Često koristite rimske znakove za ukrašavanje biranja satova. A i rimska numeracija je primer ne-pozicionog broja.

Rimljani su označili brojeve latiničnim slovima. I brojeve koje su napisali određena pravila. U rimskom broju sistema nalazi se lista ključnih simbola, uz pomoć njih svi brojevi su zabilježeni bez izuzetka.

Pravila za sastavljanje brojeva

Zahtevani broj je dobijen dodavanjem znakova (latinična slova) i izračunavanjem njihove sume. Razmotrite kako su znakovi u rimskom sistemu simbolički napisani i kako ih "čitati". Navedimo osnovne zakonitosti formiranja brojeva u rimskom sistemu bez broja pozicija.

1. Broj četiri - IV, sastoji se od dva znaka (I, V - jedan i pet). Dobija se tako što oduzima manji znak od većeg ako je na levoj strani. Kada se manji znak nalazi desno, potrebno je dodati, onda će se dobiti broj šest-VI.
2. Neophodno je dodati dva identična znaka stoje uz rame. Na primjer: CC je 200 (C-100) ili XX-20.
3. Ako je prvi karakter broja manji od drugog, onda treći u ovoj seriji može biti simbol čija je vrijednost čak i manje od prve. Da ne budemo zbunjeni, dajmo primjer: CDX-410 (u decimalnom dijelu).
4. Neke velike brojeve mogu biti predstavljene na više načina, što je jedan od nedostataka rimskog sistema računa. Evo nekoliko primera: MVM (rimski sistem) = 1000 + (1000-5) = 1995 (decimalni sistem) ili MDVD = 1000 + 500 + (500-5) = 1995. I to nisu svi načini.

Metode aritmetike

Sistem bez pozicioniranja ponekad predstavlja složen skup pravila za formiranje brojeva, njihovo obradu (radnje na njima). Aritmetičke operacije u sistemima koji nisu pozicionirani nisu moderni za lice. Nemojte zavidovati drevnim rimskim matematičarima!

Primer dodavanja. Pokušajmo dodati dva broja: XIX + XXVI = XXXV, ovaj zadatak se izvodi u dvije akcije:

1. Prvo, uzimamo i dodamo manje dijelove brojeva: IX + VI = XV (I posle V i I pre X "uništi" jedni druge).
2. Drugo, dodamo velike frakcije dva broja: X + XX = XXX.

Oduzimanje je nešto komplikovanije. Smanjen broj treba razbiti u kompozitne elemente, a nakon toga, duplirani simboli u smanjenom i oduzivom redu trebaju biti smanjeni. Od broja 500 oduzimamo 263:

D - CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII = CCXXXVII.

Množenje rimskih brojeva. Inače, neophodno je napomenuti da Rimljani nisu imali znake aritmetičkih operacija, jednostavno su ih označili rečima.

Multiplikacija je potrebna za svaki pojedinačni simbol multiplikatora, što rezultira u nekoliko dela koje je potrebno dodati. Na taj način se vrši množenje polinoma.

Što se tiče podele, ovaj proces u rimskom broju sistema bio je i ostaje najkompleksniji. Ovde se koristi drevni rimski abakus - abakus. Da bi radili s njim, ljudi su bili posebno obučeni (a ne svaka osoba uspela da ovlada takvom naukom).

O nedostatcima ne-pozicionih sistema

Kao što je već rečeno, u sistemima sa brojevima koji nisu pozicionirani postoje i neke mane, neugodnosti u upotrebi. Unari je dovoljno jednostavan za jednostavno prebrojavanje, ali nije pogodan za aritmetičke i složene proračune uopšte.

U Rimljanima ne postoje jedinstvena pravila za formiranje velikih brojeva i pojavljuje se konfuzija, te je vrlo teško napraviti kalkulacije u njemu. Pored toga, najveći broj koji su drevni Rimljani mogli da snimaju pomoću svoje metode bio je 100.000.