Jednostavna metoda iteracije za rješavanje sistema linearnih jednačina (Slough)

Jednostavna metoda iteracije, koja se naziva metoda sukcesivnih aproksimacija, - matematički algoritam za pronalaženje vrijednosti nepoznatih vrijednosti kroz postepeno pojasni to. Suština ove metode je u tome, kao što samo ime govori, su postepeno izražava početni aproksimacija one naknadno, postaju sve preciznije rezultate. Ova metoda se koristi za pronalaženje vrijednost varijable u određenu funkciju, i rješavanje sistema jednačina, linearne i nelinearne.

Da vidimo kako se ova metoda implementirana u rješavanju linearnih sistema. fixed-point iteracija algoritma je kako slijedi:

1. Verifikacija uvjeta konvergencije u početnoj matrici. A konvergencije teorem: ako je originalna matrica sistem je dijagonalno dominantna (tj svaki red elemenata glavne dijagonale mora biti veći u magnitude od zbira elemenata strane dijagonala u apsolutnoj vrijednosti), metoda jednostavnih iteracija - konvergentne.

2. Matrica originalni sistem nije uvijek dijagonala prevlast. U takvim slučajevima, sistem se može pretvoriti. Jednadžbe koje zadovoljavaju uslov konvergencije je ostala netaknuta, sa nezadovoljavajuće i da linearne kombinacije, i.e. umnožavaju, oduzimanje, jednadžba je oduzet zajedno proizvesti željeni rezultat.

Ako primljena sistema na glavnoj dijagonali su nezgodno faktore, onda obje strane ove jednadžbe se dodaju sa uslovima forme _i * x _i, koji bi trebalo da se podudaraju sa znakovima znakova dijagonale elemenata.

3. Pretvaranje sistem rezultat na normalni pogled:

^{x - = β - + α *} x -

To se može učiniti na više načina, npr, kako slijedi: prva jednadžba da izraze x ₁ preko drugih nepoznatih od vtorogo- x _2, x ₃ tretego- itd Tako smo se po formuli:

_{α ij = - (a ij /} a ii)

_i = b _i / a _ii
Da još jednom da li je rezultat sistema normalnog tipa odgovara stanje konvergencije:

Σ (j = 1) | α _ij | ≤ 1, i i = 1,2, ... n

4. Počnite koristiti, zapravo, način uzastopnih aproksimacija.

x ⁽⁰⁾ - početna aproksimacija, izražavamo preko njih x ^(1), zatim x ⁽¹⁾ x Express ^(2). Opće formula oblik matrice kako slijedi:

x ^{(N) = β - + α} * x (n- ¹⁾

Mi smo izračunali, dok ne dođemo do željenog preciznost:

_{max | x i (k) -x} i (k + 1) ≤ ε

Dakle, pogledajmo u praksi, metoda jednostavnih iteracije. primjer:
Riješite linearnih sistema:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 s preciznošću ε = 10 ^-3

Vidjeti prevladati ako je dijagonala elemente modula.

Vidimo da je stanje konvergencije zadovoljen je treće jednadžbe. Prvi i drugi transformacija, prva jednadžba dodamo dva:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Oduzeti od trećeg:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Pretvorili smo originalni sistem u ekvivalent:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Sada smo smanjiti sistema na normalni pogled:

x1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Mi smo provjeriti konvergenciju iterativni proces:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, i.e. stanje je ispunjen.

0,3947
Inicijalna aproksimacija x ⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

Zamijeniti ove vrijednosti u jednadžbu normalnog tipa, dobijamo sljedeće vrijednosti:

0,08835
x ⁽¹⁾ = 0,486793
0.446639

Zamjena novih vrijednosti, dobijamo:

0.215243
x ⁽²⁾ = 0,405396
0.558336

Mi smo i dalje izračunati sve dok sve dok ne približiti vrijednosti koje ispunjavaju određenim uvjetima.

0,18813

x ⁽⁷⁾ = 0,441091

0.544319

0.188002

x ⁽⁸⁾ = 0,44164

0.544428

Provjerite ispravnost rezultata:

4,5 * 0,1880 -1.7 * 0.441 + 3,5 * 0.544 = 2,0003
3.1 * 0,1880 + 2.3 * 0,441-1.1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Rezultati dobiveni zamjenom dobijenih vrijednosti u originalnu jednadžbu, u potpunosti zadovoljavaju jednadžbu.

Kao što možete vidjeti, jednostavna metoda iteracije daje prilično precizne rezultate, ali za rješavanje ovog jednadžbe, morali smo mnogo vremena provode i da li glomazan proračune.