Konveksni poligoni. Definicija konveksnog poligona. Dijagonali konveksnog poligona

Ove geometrijske figure nas okružuju svuda. Konveksni poligoni su prirodni, na primer, pčelinje ili vještačke (stvorene od strane ljudi). Ove figure se koriste u proizvodnji različitih vrsta premaza, u slikarstvu, arhitekturi, dekoracijama itd. Konveksni poligoni imaju svojstvo da se sve njihove tačke nalaze na jednoj strani linije koja prolazi kroz dva susedna vertikala ove geometrijske figure. Postoje i druge definicije. Konveksni je taj poligon koji se nalazi u jednoj polu-ravni prema bilo kojoj liniji koja sadrži jednu od njegovih strana.

Konveksni poligoni

U toku elementarne geometrije uvek razmatramo jednostavne poligone. Da bi se shvatila sva svojstva takvih geometrijskih figura neophodno je razumjeti njihovu prirodu. Za početak, trebalo bi shvatiti da svaka linija čiji se krajevi poklapaju naziva se zatvorena. A figura koju ona formira može imati različite konfiguracije. Poligon je jednostavna zatvorena poligonalna linija čije susedne veze ne leže na istoj liniji. Njegove veze i vrhovi su, odnosno, stranice i vertices ove geometrijske figure. Jednostavna poli- linija ne sme imati samopovršenja.

Vrha poligona naziva se susednim ako predstavljaju kraj jedne od njegovih strana. Geometrijska figura koja ima n-taj broj vrhova, a samim tim i n-ti broj strana, naziva se n-gon. Sama polomljena linija naziva se granica ili kontura ove geometrijske figure. Poligonska ravnina ili ravninski poligon se naziva konačni deo bilo koje ravniće koja je ograničena. Susedne strane ove geometrijske figure su segmenti polomljene linije, počevši od jedne tačke. Oni neće biti susedni ako dolaze iz različitih vertikata poligona.

Druge definicije konveksnih poligona

U elementarnoj geometriji postoji još nekoliko ekvivalentnih definicija u smislu njegove vrednosti, što ukazuje na to koji poligon se naziva konveksan. A sve ove formulacije su jednako istinite. Konveksni poligon se smatra:

• svaki segment koji povezuje bilo koje dve tačke unutar njega leži u potpunosti;

• unutar nje leže sve dijagonale;

• Svaki unutrašnji ugao ne prelazi 180 °.

Poligon uvek deli avion na dva dela. Jedan od njih je ograničen (može biti zatvoren u krug), a drugi neograničen. Prva se zove unutrašnja oblast, a druga se zove spoljna oblast ove geometrijske figure. Ovaj poligon je raskrsnica (drugim rečima - zajednička komponenta) nekoliko poluproizvoda. U ovom slučaju, svaki segment koji se završava na tačkama koje pripadaju poligonu u potpunosti pripada njemu.

Varijante konveksnih poligona

Definicija konveksnog poligona ne ukazuje na to da ih ima puno vrsta. I svaki od njih ima određene kriterijume. Dakle, konveksni poligoni koji imaju unutrašnji ugao jednaki 180 ° nazivaju se slabo konveksni. Konveksna geometrijska figura koja ima tri vertikala se naziva trougao, četiri je četvorougao, pet je pentagon, itd. Svaki od konveksnih n-gona ispunjava sljedeće najvažnije zahteve: n mora biti jednako ili veće od 3. Svaki od trouglova je konveksan. Geometrijska figura ovog tipa, u kojoj se sve vertikale nalaze na jednom krugu, naziva se upisano u krug. Konveksni poligon se naziva opisanim ako ga dodirnu sve strane u blizini kruga. Dva poligona se zovu jednako jedino ako se mogu kombinovati preklapanjem. Poligonalna ravnina se zove ravninski poligon (deo ravni), koji je ograničen ovom geometrijskom figurom.

Pravi konveksni poligoni

Pravi poligoni su geometrijske figure sa jednakim uglovima i bočnim stranama. U okviru njih postoji tačka 0, koja je na istoj udaljenosti od svake njegove vertikale. Zove se centar ove geometrijske figure. Segmenti koji povezuju centar sa vertikalama ove geometrijske figure se zovu apophemes, a oni koji povezuju tačku 0 sa stranama su radije.

Pravi četvorougao je kvadrat. Redovni trougao se naziva jednakostranim. Za takve cifre postoji sledeće pravilo: svaki ugao konveksnog poligona je 180 ° * (n-2) / n,

Gde je n broj vertisa ove konveksne geometrijske figure.

Površina bilo kog regularnog poligona definiše se formulom:

S = p * h,

Gde je p jednak polovini sume svih strana datog poligona, a h je jednak dužini apofeme.

Osobine konveksnih poligona

Konveksni poligoni imaju određena svojstva. Dakle, segment koji povezuje bilo koji 2 tačaka takve geometrijske figure je nužno lociran u njemu. Dokaz:

Pretpostavimo da je P dat konveksni poligon. Uzimamo 2 proizvoljne tačke, na primjer, A, B, koje pripadaju P. Prema postojećoj definiciji konveksnog poligona, ove tačke se nalaze na jednoj strani linije koja sadrži bilo koju stranu P. Shodno tome, AB također ima ovo svojstvo i nalazi se u P. Konveksni poligon je uvijek Moguće je podeliti na nekoliko trouglova apsolutno sve dijagonale koje su izvučene iz jedne od njegovih vertikala.

Uglovi konveksnih geometrijskih figura

Uglovi konveksnog poligona su uglovi koji se formiraju sa strane. Unutrašnji uglovi su u unutrašnjoj površini ove geometrijske figure. Ugao koji se formira sa strane, koji se konvergira u jednoj tački, naziva se ugao konveksnog poligona. Uglovi pored unutrašnjih uglova date geometrijske figure se nazivaju spoljašnjim. Svaki ugao konveksnog poligona koji se nalazi unutar nje je jednak:

180 ° - x,

Gde je x vrednost vanjskog ugla. Ova jednostavna formula se primjenjuje na sve geometrijske figure ove vrste.

Općenito, za spoljne uglove postoji sljedeće pravilo: svaki ugao konveksnog poligona je jednak razlici između 180 ° i vrijednosti unutrašnjeg ugla. Može imati vrijednosti u rasponu od -180 ° do 180 °. Dakle, kada je unutrašnji ugao 120 °, spoljašnji ugao će biti 60 °.

Suma uglova konveksnih poligona

Suma unutrašnjih uglova konveksnog poligona utvrđena je formulom:

180 ° * (n-2),

Gde je n broj vertisa n-gona.

Suma uglova konveksnog poligona se izračunava prilično jednostavno. Razmotrite bilo kakvu geometrijsku sliku. Da bi se odredila suma uglova unutar konveksnog poligona, jedna od njegovih vertikala mora biti povezana sa drugim vertikama. Kao rezultat ove akcije dobijamo (n-2) trouglove. Poznato je da je zbir uglova bilo kog trougla uvek 180 °. Pošto je njihov broj u bilo kojem poligonu jednak (n-2), zbir unutrašnjih uglova takve figure je 180 ° x (n-2).

Suma uglova konveksnog poligona, odnosno svaka dva unutrašnja i susedna eksterna ugla, za datu konveksnu geometrijsku sliku uvijek će biti 180 °. U skladu s tim, moguće je odrediti zbir svih uglova:

180 h n.

Suma unutrašnjih uglova je 180 ° * (n-2). S obzirom na to, suma svih spoljnih uglova date figure se utvrđuje formulom:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Suma spoljašnjih uglova bilo kog konveksnog poligona uvek će biti 360 ° (bez obzira na broj njegovih strana).

Spoljni ugao konveksnog poligona generalno predstavlja razliku između 180 ° i vrijednosti unutrašnjeg ugla.

Druga svojstva konveksnog poligona

Pored osnovnih osobina ovih geometrijskih figura, oni imaju i druge koji nastaju kada ih manipulišu. Prema tome, bilo koji poligon može se podeliti na nekoliko konveksnih n-gona. Zbog toga je neophodno nastaviti svaku njegovu stranu i smanjiti ovu geometrijsku figuru duž ovih pravih linija. Možete razdvojiti bilo koji poligon na nekoliko konveksnih delova i na taj način da se vertikali svakog od delova podudaraju sa svim njegovim vertikama. Iz ove geometrijske slike vrlo je lako napraviti trouglove držeći sve dijagonale iz jedne tačke. Stoga, bilo koji poligon, u konačnoj analizi, može se podijeliti na određeni broj trouglova, što je vrlo korisno za rješavanje različitih problema vezanih za takve geometrijske figure.

Perimetar konveksnog poligona

Segmenti slomljene linije, nazvane strane poligona, najčešće se označavaju slovima: ab, bc, cd, de, ea. To su strane geometrijske figure sa vertikama a, b, c, d, e. Suma dužine svih strana ovog konveksnog poligona naziva se njenim perimetrom.

Krug poligona

Konveksni poligoni se mogu upisati i opisati. Krug koji dodiruje sve strane ove geometrijske figure se naziva upisanim u njega. Takav poligon se naziva opisan. Središte kruga koje je upisano u poligon je tačka preseka bisektora svih uglova unutar date geometrijske figure. Površina takvog poligona jednaka je:

S = p * r,

Gde je r radijus upisanog kruga, a p je semiperimetar datog poligona.

Krug koji sadrži vertikale poligona nazvan je blizu njega. U ovom slučaju ova konveksna geometrijska figura se naziva upisanim. Središte kruga, koje se opisuje u blizini takvog poligona, je tačka preseka tzv. Srednjih pravaca na svim stranama.

Dijagonali konveksnih geometrijskih figura

Dijagonali konveksnog poligona su segmenti koji ne povezuju susedne vertikale. Svaka od njih leži unutar ove geometrijske figure. Broj dijagonala takvog n-gona utvrđuje se prema formuli:

N = n (n-3) / 2.

Broj dijagonala konveksnog poligona igra važnu ulogu u elementarnoj geometriji. Broj trouglova (K), u koji se svaki konveksni poligon može slomiti, izračunava se prema sledećoj formuli:

K = n - 2.

Broj dijagonala konveksnog poligona uvek zavisi od broja njegovih vertikala.

Razdvajanje konveksnog poligona

U nekim slučajevima, kako bi se riješili geometrijski problemi, neophodno je razbiti konveksni poligon u nekoliko trouglova sa disjointnim dijagonalama. Ovaj problem se može rešiti dobivanjem određene formule.

Definicija problema: mi nazivamo određeno raspadanje konveksnog n-gona u nekoliko trouglova dijagonalima koji se presecaju samo u vertikalama ove geometrijske figure.

Rešenje: Pretpostavimo da su P1, P2, P3 ..., Pn vertices ovog n-gona. Broj Xn je broj njegovih particija. Pažljivo razmotrite rezultirajuću dijagonalu geometrijske figure Pi Pn. U bilo kojoj od redovnih particija P1 Pn pripada određenom trouglu P1 Pi Pn, za koji 1

Neka je i = 2 jedna grupa regularnih particija, koja uvek sadrži dijagonalno P2 Pn. Broj particija koji ulaze u njega poklapa se s brojem particija (n-1) -gon P2 P3 P4 ... Pn. Drugim rečima, to je jednako Xn-1.

Ako je i = 3, onda će ova druga grupa particija uvek sadržavati dijagonale P3 P1 i P3 Pn. U ovom slučaju, broj redovnih particija koji se nalaze u ovoj grupi poklapaće se sa brojem particija (n-2) -gon P3 P4 ... Pn. Drugim rečima, to će biti jednako Xn-2.

Neka je i = 4, tada među trouglovima regularna particija nužno sadrži trougao P1 P4 Pn u koji se pridruži četvorougao P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P4 P5 ... Pn. Broj redovnih pregrada takvog kvadrilata jednak je X4, a broj particija (n-3) -gona jednak je Xn-3. Na osnovu svega navedenog, možemo reći da je ukupan broj redovnih particija koji se nalaze u ovoj grupi jednaki Xn-3 X4. Druge grupe za koje i = 4, 5, 6, 7 ... sadrže Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 ... redovnih particija.

Neka je i = n-2, onda se broj redovnih particija u datoj grupi poklapa s brojem particija u grupi za koju i = 2 (drugim rečima, to je jednako Xn-1).

Pošto je X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2 ..., onda je broj svih particija konveksnog poligona jednak:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

Primjer:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Broj redovnih particija presiječenih jednim dijagonalom

U verifikaciji pojedinih slučajeva može se pretpostaviti da je broj dijagonala konveksnih n-gona jednak proizvodu svih particija ove figure pomoću (n-3).

Dokaz ove pretpostavke: Pretpostavimo da P1n = Xn * (n-3), onda se svaki n-gon može razgraditi u (n-2) -triangle. Istovremeno, jedan od njih može se kombinirati (n-3) - četverokut. Pored toga, svaki kvadrilater će imati dijagonalu. Pošto se na ovoj konveksnoj geometrijskoj slici može izvući dvije dijagonale, to znači da je moguće izvući dodatna dijagonala (n-3) u bilo koje (n-3) -rekrilice. Iz ovoga se može zaključiti da je u bilo kojoj redovnoj particiji moguće izvesti (n-3) -diagone koji odgovaraju uslovima ovog problema.

Površina konveksnih poligona

Često, prilikom rješavanja različitih problema elementarne geometrije, postaje neophodno odrediti područje konveksnog poligona. Pretpostavimo da je (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n sekvenca koordinata svih susednih vertikala poligona koji nema samopovršenja. U ovom slučaju njegova površina se izračunava prema sledećoj formuli:

S = ½ (Σ (X _i + X _{i + 1} ) (Y _i + Y _{i + 1} )),

Gde (X ₁ , Y ₁ ) = (X _{n +1} , Y _{n + 1} ).