Obrazovanje:Koledži i univerziteti

Teorija verovatnoće. Verovatnoća događaja, slučajni događaji (teorija verovatnoće). Nezavisni i nekompatibilni događaji u teoriji verovatnoće

Malo je vjerojatno da mnogi ljudi misle da je moguće računati događaja, što u određenoj mjeri slučajno. Da biste ga stavili u jednostavnim riječima, da li je realno da se zna koja je strana kocke u kockice će pasti sljedeći put. Bilo je to pitanje koje se postavlja dva velika naučnika, postavio temelje za ovu nauku, teorija vjerojatnosti, verovatnoća događaja u kojem je studirao dovoljno intenzivno.

generacija

Ako pokušate da definirati takav koncept što je teorija vjerojatnosti, dobijamo sljedeće: ovo je jedna od grana matematike koja proučava konstantnost slučajnih događaja. Jasno, ovaj koncept stvarno ne otkriva suštinu, tako da je potrebno da ga razmotre više detalja.

Ja bih da se počne sa osnivača teorije. Kao što je već rečeno, postojala su dva, da po Ferma i Blez Paskal. Bili su to prvi pokušaj pomoću formula i matematičkih proračuna za izračunavanje ishod događaja. U principu, osnove ove nauke je još u srednjem vijeku. Dok su razni mislioci i naučnici su pokušali analizirati casino igre kao što su rulet, craps, i tako dalje, tako da se uspostavi obrazac, i gubitak postotak broja. Temelj je i postavljen u sedamnaestom stoljeću je bio navedenih naučnici.

U početku, njihov rad se ne može pripisati velika dostignuća u ovoj oblasti, na kraju krajeva, ono što su radili, oni su jednostavno empirijske činjenice i eksperimenti su jasno bez upotrebe formula. Vremenom se pokazalo da postigne velike rezultate, koje su se pojavile kao rezultat posmatranja glumaca kostiju. To je ovaj instrument je pomogla da se donese prvi različita formula.

pristalica

Da ne spominjemo takvog čoveka kao Christiaan Huygens, u procesu proučavanja predmet koji nosi ime "teorije vjerovatnoće" (vjerojatnost događaja ističe se u ovu nauku). Ova osoba je vrlo zanimljivo. On je, kao i naučnici gore navedenih sudi u obliku matematičkih formula zaključiti obrazac slučajnih događaja. Važno je napomenuti da on nije dijelio sa Pascal i Fermat, to je sve njegov rad ne poklapa sa tim mislima. Huygens izvedene osnovne pojmove teorije vjerovatnoće.

Zanimljiva je činjenica da je njegov rad je dugo prije nego što su rezultati radova pionira, da budemo precizni, dvadeset godina ranije. Postoje samo među konceptima identifikovani su:

  • kao koncept vjerovatnoća vrijednosti sreću;
  • očekivanja za diskretne slučaj;
  • teoreme sabiranja i množenja vjerovatnoće.

Također, ne može se zaboraviti Yakoba Bernulli, koji je također doprinijeli proučavanju problema. Kroz svoje, od kojih niti su nezavisne testove, on je bio u stanju da pruži dokaz o zakon velikih brojeva. S druge strane, naučnici Poisson i Laplace, koji je radio u ranom devetnaestom stoljeću, mogli dokazati originalni teorem. Od tog trenutka za analizu grešaka u zapažanja smo počeli koristiti teoriju vjerovatnoće. Party oko ove nauke nije mogla i ruski naučnici, a Markov, Čebišev i Dyapunov. Oni su zasnovani na rad veliki geniji, osiguran subjekta kao grana matematike. Radili smo ove brojke krajem devetnaestog stoljeća, a zahvaljujući njihov doprinos, je dokazano fenomene kao što su:

  • zakon velikih brojeva;
  • Teorija Markov lanaca;
  • Centralni granični teorem.

Dakle, povijest rođenja nauke i sa glavnim ličnostima koje su doprinijele tome, sve je više ili manje jasno. Sada je vrijeme da se meso sve činjenice.

osnovni pojmovi

Prije nego što dodirnete zakoni i teoreme treba da nauči osnovne pojmove teorije vjerovatnoće. Događaj zauzima dominantnu ulogu. Ova tema je prilično opsežna, ali neće biti u stanju da shvate sve ostalo bez njega.

Događaj u teoriji vjerovatnoće - to Bilo koji skup ishoda eksperimenta. Koncepti ovog fenomena nema dovoljno. Dakle, Lotman naučnik koji rade u ovom području, izrazio je da je u ovom slučaju govorimo o onome što "se dogodilo, iako se ne može dogoditi."

Random Events (teorija vjerovatnoće posvećuje posebnu pažnju na njih) - je koncept koji uključuje apsolutno bilo koji fenomen koji imaju mogućnost da se dogodi. Ili, naprotiv, ovaj scenarij se ne može dogoditi u obavljanju različitim uslovima. Također je vrijedno znajući da zauzimaju cjelokupni volumen fenomena javlja samo slučajni događaji. teorije vjerovatnoće predlaže da svi uslovi mogu se stalno ponavlja. To je njihovo ponašanje se naziva "iskustvo" ili "test".

Značajan događaj - to je fenomen koji je sto posto u ovom testu dogoditi. U skladu s tim, nemoguće događaj - to je nešto što se ne događa.

Kombinirajući parova Akcija (konvencionalno slučaj A i slučaj B) je fenomen koji se javlja istovremeno. Oni se nazivaju AB.

Iznos parova događaja A i B - C je, drugim riječima, ako barem jedan od njih (A ili B), dobijate C. formula opisao fenomen se piše kao C = A + B.

Nespojivo dostignuća u teoriji vjerovatnoće implicira da su dva slučaja se međusobno isključuju. Istovremeno, oni su u svakom slučaju ne može doći do. Zajedničkih događaja u teoriji vjerovatnoće - to je njihov antipod. Implikacija je da ako se dogodilo, to ne sprečava C.

Suprotna događaja (teorije vjerovatnoće ih smatra veoma detaljno), je lako razumjeti. To je najbolje da se bave s njima u odnosu. Oni su gotovo isti kao nespojiv dostignuća u teoriji vjerovatnoće. Međutim, njihova razlika je u tome treba da se javljaju jedan od mnoštva pojava u svakom slučaju.

Jednako vjerojatno događaji - te akcije, mogućnost ponavljanja jednaka. Da bude jasno, možete zamisliti bacanje novčića: gubitak jednog od njegovih strana je jednako mogući gubitak drugih.

lakše je uzeti u obzir primjer favorizovanja događaja. Pretpostavimo da je epizoda u epizodi A. Prvi - rolne die sa pojavom neparan broj, a drugi - pojava broj pet na kockice. Onda ispada da je A omiljeno V.

Nezavisne događaje u teoriji vjerovatnoće projektovani su samo na dva ili više puta i uključuju nezavisno od bilo kakve akcije od drugog. Na primjer, A - na gubitku repovi novčić bacanje, i B - dostavanie priključak s palube. Oni imaju nezavisne događaje u teoriji vjerovatnoće. Od tog trenutka je postalo jasno.

Zavisi od događaja u teoriji vjerovatnoće je dozvoljeno samo za set. Oni podrazumijevaju zavisnost jedne na druge, to jest, fenomen može doći samo u slučaju kada je već došlo ili, naprotiv, nije došlo kada je - glavni uslov za B.

Ishod slučajnog eksperimenta koji se sastoji od jednog dijela - to je osnovno događaja. teorije vjerovatnoće kaže da je fenomen koji se obavlja samo jednom.

osnovna formula

Dakle, iznad su smatrane koncept "događaj", "teorije vjerovatnoće", takođe je dao definicije ključnih pojmova ove nauke. Sada je vrijeme da se upozna s važnim formula. Ovi izrazi su matematički potvrdio sve glavne koncepte u tako tešku temu kao teorije vjerojatnosti. Verovatnoća događaja i igra veliku ulogu.

Bolje početi sa osnovnim formule kombinatorike. I prije nego što ih počnete, to vrijedi s obzirom na ono što je.

Kombinatorika - prvenstveno je grana matematike, on je proučavao veliki broj prirodnih brojeva, kao i razne permutacije kako brojeva i njihovih elemenata, različite podatke, itd, što je dovelo do broj kombinacija ... Osim teorije vjerojatnosti, ove industrije je važno za statistiku, informatike i kriptografije.

Sada možete preći na prezentaciju sebe i svoje formule definicije.

Prvi od njih je izraz za broj permutacija, to je kako slijedi:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Jednadžba vrijedi samo u slučaju ako se elementi razlikuju samo u cilju uređenja.

Sada plasman formulu, to izgleda ovako će se smatrati:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Ovaj izraz se primjenjuje ne samo na jedini element reda plasmana, ali i da se njegov sastav.

Treći jednadžba kombinatorike, a ovo drugo, pozvao formulu za broj kombinacija:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Kombinacija se zove uzorkovanja, koji nisu naredili, odnosno, da se i primjenjuje ovo pravilo.

Uz formule kombinatorike je lako shvatiti, sada možete ići na klasičnu definiciju vjerojatnosti. Izgleda da je ovaj izraz kako slijedi:

P (A) = m: n.

U ovoj formuli, m - broj od uslova za događaj A, i n - broj jednako i potpuno sve osnovne događaje.

Postoji mnogo izraza u članku neće se razmatrati ništa osim pogođene će biti najvažnije, kao što su, na primjer, vjerojatnost događaja iznosi:

P (A + B) = P (A) + P (B) - ova teorema za dodavanje samo međusobno isključive događaje;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - ali to je samo za dodavanje kompatibilni.

Verovatnoća događaja radova:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - ova teorema za nezavisne događaje;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - i to za zavisne.

Završeno listu događaja formule. Teorija vjerovatnoće nam kaže teorema Bayes, koji izgleda ovako:

P (h_m | A) = (P (h_m) P (A | h_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

U ovoj formuli, H 1, H 2, ..., H n - je kompletan set hipoteza.

U ovoj stanici, aplikacija uzoraka formule će sada biti uzeti u obzir za određene zadatke iz prakse.

primjeri

Ako pažljivo proučiti bilo kojoj poslovnici matematike, nije bez vježbe i uzorak rješenja. I teorije vjerojatnosti: Događaji, primjeri ovdje su sastavni potvrđivanja naučnih proračuna.

Formula za broj permutacija

Na primjer, u palube kartica ima trideset kartice, počevši od nominalne. Sledeće pitanje. Koliko načina saviti palube, tako da nisu bili nalazi kartice sa nominalne vrijednosti jednog i dva naredna?

Zadatak je postavljen, sada idemo dalje da se time bavi. Prvo je potrebno odrediti broj permutacija od trideset elemenata, za tu svrhu uzmemo gornje formule, ispostavilo P_30 = 30!.

na osnovu ovog pravila, znamo koliko mogućnosti postoje da položi palube na mnogo načina, ali moramo se odbiti od njih su one u kojima su prvi i drugi kartica će biti sljedeći. Da biste to učinili, počnite sa varijantom, kada su prvi nalazi se na drugom. Ispostavilo se da je prvu kartu može trajati dvadeset i devet mjesta - od prvog do dvadeset deveto, a drugi karticu iz drugog do trideset, puni dvadeset devet mjesta za parove karata. S druge strane, drugi mogu uzeti dvadeset i osam mjesta, i bilo kojim redom. To je, za preuređenje dvadeset osam kartice su 28 mogućnosti P_28 = 28!

Rezultat toga je da ako uzmemo u obzir odluke, kada je prvi kartica se nalazi na drugom ekstra priliku da se 29 ⋅ 28! = 29!

Na isti način, trebate izračunati broj viška opcija za slučaj kada je prva kartica nalazi ispod drugog. Dobila i 29 ⋅ 28! = 29!

Iz toga slijedi da su dodatne opcije 2 ⋅ 29!, A potrebna sredstva za prikupljanje palubi 30! - 2 ⋅ 29!. Ostaje samo da se izračuna.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30-2) = 29! ⋅ 28

Sada moramo zajedno pomnožiti sve brojeve 1-29, a onda na kraju sve pomnoži sa 28. Odgovor dobiti 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Primjeri rješenja. Formula za broj smještajnih

U ovaj problem, potrebno je da saznate koliko postoje načini da se stavi volumena petnaest na polici, ali pod uslovom da je samo trideset tomova.

U ovom zadatku, odluka je malo lakše nego prethodne. Pomoću već poznatih formula, potrebno je izračunati ukupan broj trideset lokacija petnaest tomova.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Odgovor, odnosno, neće biti jednak 202 843 204 931 727 360 000.

Sada uzeti zadatak malo teže. Morate znati koliko postoje načini da dogovoriti trideset i dvije knjige na policama, s tim da je samo petnaest tomova mogu ostati na istoj polici.

Prije početka odluke bih da razjasnim da su neki od problema se može riješiti na više načina, au ovom postoje dva načina, ali u oba jedna te ista formula se primjenjuje.

U ovom zadatku, možete uzeti odgovor od prethodnog, jer tu smo izračunali koliko puta možete popuniti police za petnaest knjiga na različite načine. Ispostavilo A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Drugi puk računa prema formuli rekonstrukciju, jer se nalazi petnaest knjiga, dok je ostatak od petnaest godina. Mi koristimo formulu P_15 = 15!.

Ispostavilo se da je iznos će A_30 ^ 15 ⋅ P_15 načine, ali, pored toga, proizvod svih brojeva 30-16 bi se množi proizvod brojeva 1-15, na kraju ispalo proizvod svih brojeva 1-30, to je odgovor je 30!

Ali ovaj problem može riješiti na drugačiji način - lakše. Da biste to učinili, možete zamisliti da postoji jedan polica za trideset knjiga. Svi oni su smješteni na avion, već zato što je stanje zahteva da postoje dvije police, jedan smo dugo piljenje na pola, dva okreta petnaest. Iz ovoga ispada da je za ovaj aranžman može biti P_30 = 30!.

Primjeri rješenja. Formula za broj kombinacija

Koji se smatra varijantu Treći problem kombinatorike. Morate znati koliko načina postoji organizirati petnaest knjiga pod uslovom da morate odabrati trideset potpuno isti.

Za odluku će, naravno, primijeniti formulu za broj kombinacija. Iz uslovom da postaje jasno da bi iste petnaest knjige nije važno. Dakle, u početku vam je potrebno da biste saznali ukupan broj kombinacija trideset petnaest knjiga.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

To je sve. Koristeći ovu formulu, u najkraćem mogućem roku riješiti takav problem, odgovor, odnosno, što je jednako 155117520.

Primjeri rješenja. Klasičan definicija vjerojatnosti

Koristeći formulu gore navedenih, mogu se naći odgovor na jednostavan zadatak. Ali to će se jasno vide i prate tok akcije.

Zadatak s obzirom da je u urni postoji deset potpuno identične kugle. Od tog broja, četiri žuta i šest plave. Preuzeto iz urne jedna lopta. Potrebno je znati vjerojatnost dostavaniya plavo.

Da bi riješili problem, potrebno je odrediti dostavanie plavu loptu događaj A. Ovo iskustvo može imati deset ishoda, koja, zauzvrat, osnovnim i jednako vjerojatno. U isto vrijeme, šest od deset su povoljni za događaj A. Riješite sljedeće formule:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Primjenom ove formule, saznali smo da je mogućnost dostavaniya plavu loptu je 0,6.

Primjeri rješenja. Verovatnoća događaja iznosa

Ko će biti varijanta koja se rješava pomoću formule vjerojatnosti događaja iznosa. Dakle, s obzirom na stanje da postoje dva slučaja, prvi koji je sivo i pet bijele lopte, dok je drugi - osam sivi i četiri bijele loptice. Kao rezultat toga, prvi i drugi kutije su se na jednom od njih. Potrebno je da saznate kakve su šanse da nije imao muda su sive i bijele.

Riješiti ovaj problem, potrebno je da se identifikuje događaj.

  • Tako je, A - imamo sivu loptu prve kutije: P (A) = 1/6.
  • A '- Bijela žarulja i uzeti iz prve kutije: P (A') = 5/6.
  • Je - već vadi sivu loptu drugog kanal: P (B) = 2/3.
  • B '- uzeo sivu loptu drugog ladice: P (B') = 1/3.

Prema problema neophodno je da je jedan od fenomena dogodilo: AB "ili" B. Koristeći formulu, dobijamo: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Sada je korištena formula množenjem vjerovatnoće. Zatim, da sazna odgovor, morate primijeniti svoje jednadžbe i dodao:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Tako je, koristeći formulu, ti se može riješiti takve probleme.

rezultat

U radu je predstavljen informacije o "teoriji vjerovatnoće", verovatnoća događaja koji igraju važnu ulogu. Naravno, nije sve je uzeti u obzir, ali na temelju teksta predstavljen, možete teoretski se upoznaju sa ove grane matematike. Smatra nauka može biti korisno ne samo u profesionalnom poslu, ali iu svakodnevnom životu. Možete ga koristiti za izračunavanje svaku mogućnost događaj.

Tekst je također pogođena značajnih datuma u istoriji razvoja teorije vjerovatnoće kao nauke, kao i imena ljudi čiji su radovi stavili u nju. To je kako se ljudska znatiželja dovela je do toga da su ljudi naučili da broje, čak i slučajnih događaja. Jednom kada su samo zainteresirani za ovu, ali danas je već poznat svima. I niko ne može reći šta će biti s nama u budućnosti, koji drugi sjajan otkrića koje se odnose na teoriju koja se razmatra, će biti počinjena. Ali jedna stvar je sigurna - studija još uvijek ne vrijedi!

Similar articles

 

 

 

 

Trending Now

 

 

 

 

Newest

Copyright © 2018 bs.unansea.com. Theme powered by WordPress.