Iracionalnih brojeva: šta je to i šta se oni koriste?

Ono što je iracionalan broj? Zašto se zovu? Gdje se koriste i šta predstavlja? Nekoliko konzervi bez ustezanja da odgovori na ova pitanja. Ali, u stvari, odgovori su vrlo jednostavni, iako ne svi su neophodne i u vrlo rijetkim situacijama,

Suština i označavanje

Iracionalni brojevi su beskrajne neperiodične decimale. Potreba da se uvede ovaj koncept proizlazi iz činjenice da je u cilju da se obrati novim izazovima koji se pojavljuju nije bilo dovoljno ranije postojećih koncepata stvarnih ili pravi, cijeli, prirodni i racionalni brojevi. Na primjer, kako bi se izračunati kvadrat vrijednost je 2, potrebno je koristiti neperiodične beskonačne decimalni razlomak. Osim toga, mnoge jednostavne jednadžbe također nemaju rješenje bez uvođenja koncepta iracionalnih brojeva.

Ovaj skup je označen kao i ja I, kao što je postalo jasno, ove vrijednosti ne mogu biti predstavljeni kao jednostavan frakcija, od kojih je brojnik je u cjelini, a nazivnik - prirodan broj.

Po prvi put ovaj ili onaj način sa ovom pojavom suočena Indijski matematičari u VII veku pre nove ere, kada je otkriveno da je kvadratni koren određene količine ne može se jasno identificirati. Prvi dokaz o postojanju takvih brojeva je zaslužan Pitagorine Hippasus, koji su ga u studiju jednakokrakog pravouglog trougla. Ozbiljna doprinos proučavanju ovog seta doveli su čak i neki naučnici koji su živjeli prije Krista. Uvođenje koncepta iracionalnih brojeva dovela je do revizije postojećih matematičkih sistema, što je razlog zašto su tako važne.

Porijeklo imena

Ako je odnos na latinskom - je "pucao", "stav", prefiks "IR"
priključen na riječ suprotno. Dakle, naziv skupa ove brojke ukazuju na to da oni ne mogu biti u korelaciji na cijeli broj ili frakcionog, imaju sjedište. To slijedi iz njihove prirode.

Mjesto u generalnom plasmanu

Iracionalnih brojeva, uz racionalno odnosi na grupu stvarnog ili virtualnog, što pripadaju kompleksa. Podskupa, međutim, ne prave razliku između algebarskih i transcendentalne vrste, koji će biti riječi u nastavku.

svojstva

Zato što je iracionalno brojevi - to je dio skupa realnih, a zatim se na njih odnose sve njihove osobine, koji se izučavaju u aritmetici (poznat i kao osnovni algebarskih zakona).

a + b = b + a (komutativnost);

(A + B) + c = a + (b + c) (asocijativnost);

a + 0 = a;

a + (-a) = 0 (postojanje aditiva inverzni);

ab = ba (komutativna zakona);

(Ab) c = a (BC) (distributivnost);

a (b + c) = ab + ac (distributivne zakona);

ax 1 = a

ax 1 / a = 1 (obrnuti broj postojanja);

Poređenje je također u skladu s općim zakonima i principima:

Ako je a> b i b> c, onda> c (odnos prelaznost) i. t. d.

Naravno, sve iracionalne brojeve se može pretvoriti pomoću osnovnih aritmetičkih operacija. Posebna pravila u ovome.

Osim toga, iracionalne brojeve koje pokriva Arhimed aksiom. U njemu se navodi da je za bilo koja dva vrijednosti A i B je istina da je, uzimajući termin kao dovoljan broj puta, moguće je pobijediti b.

korištenje

Uprkos činjenici da je u stvarnom životu nije to često moraju nositi s njima, iracionalni brojevi ne daju račun. Oni su mnogo, ali su praktično nevidljivi. Okruženi smo iracionalnim brojevima. Primjeri, poznata svima, - broj pi, jednak 3.1415926 ... ili e, u suštini je baza prirodnih logaritama, 2,718281828 ... U algebre, trigonometrija i geometrija da ih koriste stalno. Usput, dobro poznate vrijednosti "zlatnog sekciji", odnosno odnos koliko je najviše do najniže i obrnuto, te To se odnosi na ovaj skup. Manje poznate "srebro" - previše.

Na broj linije, oni su vrlo blizu, tako da je između bilo koja dva količinama, pokrivena je skup racionalnog, iracionalnog nužno doći.

Do sada, ima mnogo neriješenih pitanja vezanih za ovaj skup. Postoje kriteriji, kao što je iracionalnost mjere i normalnost broj. Matematičari i dalje istraživati najznačajnijih primjera njihove pripadnosti jednoj grupi ili nekom drugom. Na primjer, pretpostavlja se da e - normalan broj, odnosno vjerojatnost pojave u svojoj snimanje različitih brojke su isti ... Što se tiče pi, onda je njena relativno dugo pod istragom. Mjera iracionalnost naziva vrijednosti, pokazuje koliko dobro određeni broj može se aproksimirati racionalnim brojevima.

Algebarskih i transcendentalne

Kao što je već spomenuto, iracionalne brojeve uslovno podijeliti u algebarskih i transcendentalno. Konvencionalno, jer, strogo govoreći, klasifikacija se koristi za podijeliti pluralitet C.

U okviru ovog oznaka krije kompleksnih brojeva, koji uključuju stvarni ili stvarne.

Tako algebarskih zove vrijednost, koja je korijen polinoma nije identično nula. Na primjer, kvadratni korijen od 2 će pasti u ovu kategoriju, jer je rješenje jednadžbe x ² - 2 ^u = 0.

Svi ostali realni brojevi koji ne zadovoljavaju ovaj uslov se zove transcendentalna. Ova vrsta i su najpoznatiji i već pomenutih primjera - broj pi i prirodni logaritam po bazi e.

Zanimljivo je da ni jedan ni drugi su izvorno uzgajani matematičari kao takvi, njihova iracionalnost i transcendencija je dokazano kroz mnogo godina nakon njihovog otkrića. Za pi dokaz je pružena u 1882. i pojednostavljen u 1894. godine, kojim je okončan u debatu o problemu kvadrature kruga, koji je trajao 2500 godina. To još uvijek nije u potpunosti razumio, tako da moderni matematičari imaju posla. Usput, prvi razumno precizan izračun ove vrijednosti imao Arhimed. Pred njim, svi proračuni su bili previše približne.

Za e (Eulerov broj, ili Napier), dokaz njegove transcendencije je pronađen 1873. godine. Koristi se u rješavanje logaritamskih jednadžbi.

Među drugim primjerima - sinus vrijednosti, kosinus i tangenta za bilo nule algebarskih vrijednosti.